SoSe 2020: Spektralgeometrie

Dozent: Dr. Moritz Doll
Email: surname at uni-bremen.de
Vorlesungen: Mo. und Fr. 14-16 im MZH 6190
Übungen: wird bekannt gegeben
Prüfung: mündlich

Voraussetzungen

Wichtig sind grundlegende Kenntnisse der Funktionentheorie und Funktionalanalysis. Es wird kein Wissen über partielle Differentialgleichungen vorausgesetzt.

Inhalte

Die Vorlesung gliedert sich in drei Teile:

1. Teil: Riemannsche Geometrie

Wir werden den Begriff einer glatten Mannigfaltigkeit einführen, der gekrümmte Flächen verallgemeinert ohne dabei auf einen umgebenen Raum zurückzugreifen. Eine Riemannsche Metrik erlaubt es Längen von Kurven zu messen, somit ist es möglich Längen minimierende Kurven zu definieren, die Geodäten.

2. Teil: Mikrolokale Analysis

Regularität von Funktionen ist eine lokale Eigenschaft. Die Idee der mikrolokalen Analysis ist es auch die Richtung von Regularität zu beschreiben. Dies wird mittels Pseudodifferentialoperatoren geschehen, eine Algebra aus Operatoren die sowohl Differentialoperatoren enthält als auch Operatoren die mikrolokale Regularität messen.

3. Teil: Spektrum des Laplace-Operators

Im abschließenden Teil werden wir die Theorie der mikrolokalen Analysis nutzen um die Asymptotik der Eigenwertzählfunktion des Laplace-Operators zu berechnen. Es stellt sich heraus, dass der führende Term proportional zu der halben Dimension der Mannigfaltigkeit und der Proportionalitätsfaktor ist das Volumen (bis auf eine universelle Konstante).

Literatur

Die Vorlesung wird sich an den folgenden Büchern orientieren.

Weiterführende Literatur ist