Die folgende Stichwortliste wird sich
Woche um Woche in ein Vorlesungsprogramm verwandeln:Topologische Räume;
Stetige Abbildungen;
Konstruktionen topologischer Räume:
Teilräume, Produkte, Quotienten;
(Weg-)Zusammenhang;
Kompaktheit;
Fundamentalgruppe;
Überlagerungen.
Vorlesungsprogramm
02.05.06 Einführung: eine tour d'horizon. 03.05.06 Topologische Räume: Definition, Beispiele, die Ordnungstopologie auf den reellen Zahlen; abgeschlossene Mengen, abgeschlossenes Inneres, Abschluss, Rand, dichte und nirgends dichte Mengen, das Cantorsche Diskontinuum. 04.05.06 Basen: Definition, Beispiele, von Basen erzeugte Topologien, Äquivalenzkriterium. Metrische Topologien: Metrische Räume, metrische Topologie, Beispiele, Hausdorffräume. 09.05.06 Stetige Abbildungen: Definition, Äquivalenzen, Stetigkeit auf metrischen Räumen, Homöomorphismen, Beispiel einer nicht umkehrbar-stetigen Bijektion. 10.05.06 Initialtopologien: Universelle Eigenschaft von Initialtopologien, Existenz und Eindeutigkeit, Konstruktion, Unterraumtopologie, Produkttopologie, Vergleich zur Boxtopologie auf Produkten. 11.05.06 Finaltopologien: Universelle Eigenschaft von Finaltopologien, Existenz und Eindeutigkeit, Konstruktion, Quotiententopologie, Summentopologie, Zusammenkleben von Räumen. 16.05.06 Zusammenhang: Zerlegungen von Räumen, Definition und Struktureigenschaften von zusammenhängenden Räumen, Zusammenhangskomponenten, Zusammenhang für Produkträume, Zwischenwertsatz. 18.05.06 Wegzusammenhang: Definition und Struktureigenschaften von wegzusammenhängenden Räumen, "Sinuskurve der Topologen",Wegzusammenhangskomponenten, lokaler Wegzusammenhang. 23.05.06 Kompaktheit I: Definition von Überdeckungen, quasi-kompakten und kompakten Räumen, abgeschlossen versus kompakt, ein Homöomorphiekriterium, endliche Produkte quasi-kompakter Räume. 30.05.06 Kompaktheit II: Abgeschlossene Intervalle in R sind kompakt, Satz von Heine-Borel, Peano-Kurven, Extremwertsatz auf quasi-kompakten Räumen,. 01.06.06 Kompaktheit III: Lebesgue-Zahlen offener Überdeckungen metrischer Räume, uniforme Stetigkeit auf kompakten metrischen Räumen, lokalkompakte Räume, Alexandroff-Kompaktifizierung.
Pfingstpause
13.06.06 Die Fundamentalgruppe I: Homotopie von Abbildungen, Homotopie von Wegen, Verknüpfung von Homotopieklassen: Definition der Fundamentalgruppe, Unabhängigkeit vom Basispunkt.
20.06.06 Die Fundamentalgruppe II: Unabhängigkeit der Fundamentalgruppe vom Basispunkt, einfach-zusammenhängende Räume, induzierte Abbildungen, topologische Invarianz, die Fundamentalgruppe der 1-Sphäre.
22.06.06 Die Fundamentalgruppe III: Die Fundamentalgruppe der 1-Sphäre (Forts.), Hochheben von Wegen, Hochheben von Homotopien, Vereinigungen einfach-zusammenhängender Räume, höherdimensionale Sphären sind einfach zusammenhängend. Anwendungen I: Der Brouwersche Fixpunktsatz in Dimension 2. 04.07.06 Anwendungen II: Retraktionen, Satz von Frobenius, Satz von Borsuk-Ulam in Dimension 2, Satz von Ljusternik-Schnirelmann in Dimension 2, Equipartitionssätze. 06.07.06 Anwendungen III: Der Fundamentalsatz der Algebra mit topologischem Beweis. Überlagerungen I: Definition, Beispiele, Hochheben von Wegen, Hochheben von Homotopien, charakteristische Untergruppen, Blätterzahlen, Monodromie. 11.07.06 Überlagerungen II Homöomorphismengruppen, echt unstetige Operationen, Fundamentalgruppen von Bahnenrämen, Beispiele: projektive Räme, Kleinsche Flasche, Linsenräume, Hochheben von Abbildungen. 13.07.06 Überlagerungen III Abhängigkeit von Basispunkten, Homomorphismen und Äquivalenz von Überlagerungen, injektive Korrespondenz: Äquivalenzklassen von Überlagerungen versus Konjugiertenklassen von Fundamentalgruppen, universelle Überlagerungen, Nichtexistenz von Überlagerungen, semilokal einfach zusammenhängende Räume. 18.07.06 Überlagerungen IV Räume ohne universelle Überlagerung, semilokal einfach zusammenhängende Räume, Existenz von Überlagerungen zu gegebenen charakteristischen Untergruppen für wegzusammenhängende, lokal wegzusammenhängende, semilokal einfach zusammenhängende Räume. 20.07.06 Überlagerungen V Existenz von Überlagerungen zu gegebenen charakteristischen Untergruppen für wegzusammenhängende, lokal wegzusammenhängende, semilokal einfach zusammenhängende Räume (Forts.). Der Satz von Seifert und van Kampen I Homotopieäquivalenz, Deformationsretraktion, Homotopieinvarianz der Fundamentalgruppe. 25.07.06 Der Satz von Seifert und van Kampen II Exkurs: Freies Produkt von Gruppen, Konstruktion, universelle Eigenschaft. Der Satz von Seifert und van Kampen, Beispiele. 27.07.06 Der Satz von Seifert und van Kampen III Graphen, Fundamentalgruppe von Graphen, Überlagerungen von Graphen, Satz von Nielsen-Schreier.