Komplexe Analysis

Vorlesung im Sommersemester 2001
Studiengang Elektrotechnik
Vorlesung: Di 15-17 Uhr, HG F3 (14-täglich), Do 10-12 Uhr, ETF E1 (wöchentlich)

Achtung: zusätzliche Übungen zum Vordiplom am Ende der Seite!

Vorlesungsprogramm

(Informationen zur Organisation des Übungsbetriebs finden Sie hier)

03.04.01 Komplexe Funktionen I (Skript: 1.1, 1.3.2 - 1.4)

• Komplexe Zahlen: Eigenschaften, geometrische Interpretation der
  Verknüpfungen, Polarkoordinaten.
• Komplexwertige Funktionen: Kurven in der komplexen Zahlenebene.

05.04.01 Komplexe Funktionen II (Skript: 1.4, 1.2)

• Komplexwertige Funktionen: Funktionen komplexer Variablen:
  Translation, Skalarmultiplikation, 1/z,
  Potenzfunktion, Exponentialfunktion.
• Die Riemannsche Zahlenkugel : Kompaktifizierung der komplexen Zahlen,
  Möbius-Transformationen.

12.04.01 Analytische Funktionen I (Skript: 2.1, 2.2)

• Komplexe Differenzierbarkeit: Definition und Ableitungsregeln, analytische Funktionen.
  Beispiele: Polynome, rationale Funktionen, Exponentialfunktion.
  Potenzreihen: Satz von Weierstrass, Analytizität.

17.04.01 Analytische Funktionen II (Skript: 2.4)

• Komplexe Differenzierbarkeit: Geometrische Interpretation komplexer Differenzierbarkeit:
  Orientierung, Winkeltreue.
  
• Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen:
  Exkurs: Differentialrechnung im Reellen: partielle Ableitungen, totale Ableitungen.

19.04.01 Analytische Funktionen III (Skript: 2.3, 1.4.5, 1.4.7)

• Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen: Herleitung der CR-Differentialgleichungen,
  CR-Differentialgleichungen als Analytizitätskriterium.
  Umkehrfunktionen: n-te Wurzel, Logarithmus im Komplexen.

26.04.01 Analytische Funktionen IV (Skript: 2.3, 2.5, 3.1)

• Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen: Ableitungen von Umkehrfunktionen.
  
• Konforme Abbildungen: Definition, Riemannscher Abbildungssatz, Beispiele.
• Ausblick: Der Satz von Cauchy, Integralformel.
• Komplexe Linienintegrale: Definition.

03.05.01 Der Satz von Cauchy I (Skript: 3.1, 3.2)

• Komplexe Linienintegrale: Definition, Beispiele, Eigenschaften,
  Integration über stückweise stetig differenzierbare Kurven.
  
• Der Satz von Cauchy für konvexe Gebiete: Integration mittels analytischer
  Stammfunktionen.

10.05.01 Der Satz von Cauchy II (Skript: 3.2, 3.3)

• Der Satz von Cauchy für konvexe Gebiete: Existenz analytischer Stammfunktionen,
  Satz von Cauchy, Umlaufzahlen, Integralformel für konvexe Gebiete.
• Anwendungen der Integralformel: Mittelwerteigenschaft, Maximumsprinzip,
  mehrfache Ableitungen analytischer Funktionen (Integralformeln).

15.05.01 Der Satz von Cauchy III/ Residuenkalkül I (Skript: 3.3, 4.1, 4.2 )

• Anwendungen der Integralformel: Satz von Liouville, Taylor-Entwicklung analytischer
  Funktionen: Konvergenzkreise, Folgerungen, Ordnung von Nullstellen.
• Integralformel und Satz von Cauchy für beliebige Gebiete: nullhomologe Zyklen,
  allgemeine Integralformel.

17.05.01 Residuenkalkül II (Skript: 4.1 - 4.3)

• Integralformel und Satz von Cauchy für beliebige Gebiete: Integralformel für Gebietsränder,
  allgemeiner Satz von Cauchy, erzeugende Zykel zweifach zusammenhängender Gebiete.
• Laurent-Entwicklung analytischer Funktionen: Entwicklung und Eindeutigkeit, Beispiele.

29.05.01 Residuenkalkül III (Skript: 4.4, 4.5)

• Isolierte Singularitäten: hebbare Singularitäten, Pole, wesentliche Singularitäten.
• Residuen: Residuensatz, Berechnen von Residuen.

31.05.01 Residuenkalkül IV (Skript: 4.5)

• Residuensatz: Anwendung des Residuensatzes: uneigentliche reelle Integrale
  über rationale Funktionen, Integrale über rationale Funktionen in sin t, cos t.

07.06.01 Fourier-Reihen I (Skript: 5.1, 5.2)

• Definition, Integralformeln, Konvergenz: trigonometrische Polynome,
  Fourier-Reihen, Koeffizientenformeln, Konvergenz.
• Beispiele: stetige Funktionen, Funktionen mit Sprungstellen,
  Satz über punktweise Konvergenz.

12.06.01 Fourier-Reihen II (Skript: 5.2, 5.3, 6.1)

• Ergänzungen: Gibbs'sches Phänomen, Partialsumme versus Fourier-Entwicklung,
  Dirichletscher Kern.
• Faltungen: Faltungsprodukt integrabler Funktionen, Eigenschaften, Interpretation
  als Mittelung, Beispiele: B-Splines.

14.06.01 Fourier-Transformationen I (Skript: 6.2, 6.3)

• Faltungen: Ergäanzung: Regularisierungen.
• Transformationen: Definition, Interpretation, Beispiele: Fourier-Transformierte
  charakteristischer Funtionen, Fourier-Transformierte gebrochen rationaler Funktionen,
  Umkehrformel.

21.06.01 Fourier-Transformationen II (Skript: 6.3, 6.4)

• Transformationen: Eigenschaften und Rechenregeln.
• Shannon-Interpolation: bandbegrenzte Signale, Shannon-Interpolationen,
  Shannon-Sampling-Theorem.

26.06.01 Diskrete und schnelle Fourier-Transformation (Skript: 7)

• Diskrete Fourier-Transformation: Rekonstruktion periodischer Funktionen,
  diskrete FT - algebraisch
• Schnelle Fourier-Transformation: Schmetterlingsmatrizen, Reduktion
  des Aufwands von N^2 auf N log N.

28.06.01 Laplace-Transformationen I (Skript: 8.1, 8.5, 8.2)

• Grundlagen: Einschwingvorgänge, Wachstumskonstanten, Definition der
  Laplace-Transformierten, Analytizität, Umkehrformel.
• Beispiele: Potenzfunktionen, Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen.
• Transformationsregeln: Linearität, Verschiebung im Argument, Ableitungen,
  Faltungssatz.

05.07.01 Laplace-Transformationen II (Skript: 8.4)

• Anwendung: Lösen inhomogener, linearer Differentialgleichungen.
• Tour d'horizon durch die Komplexe Analysis.

Viel Erfolg bei der Prüfungsvorbereitung und einen schönen Sommer !

Übungen zum Vordiplom: [ps-file] [pdf-file]

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Natürlich freue ich mich, wenn Sie mich direkt in der Vorlesung ansprechen oder in meine Sprechstunde kommen, Sie können mir aber auch im nachfolgenden Textfeld eine e-Mail schreiben.

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Kontakt:

Eva Maria Feichtner

eMail: feichtne@math.ethz.ch

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last updated: July 04, 2001

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